ネットワーク機器 | androidスマホでネットがつながらない

|詳細設定でIPアドレスは確認しましたが、

ということですが、以下のネットワーク設定情報が無線LAN接続のPCのそれと同じかどうかを確認しては、如何でしょうか?
ただし、IPアドレスはネットワーク上で重複はできないので、一番右の値は異なります。具体的には、192.168.1.nnnのnnn部が異なります。その他の(2)から(4)までは、同一のアドレス（値）になります。

(1)IPアドレス
(2)サブネットマスク
(3)デフォルトゲートウェイ
(4)DNSサーバ

|スリーブ設定は、何もさわっていないのですが、現在は「画面が消灯し15分間操作を行わないとき」にチェックが入っています。

ということですが、15分を経過するとWi-Fi接続がスリープ状態になり、通信が途切れるかと思います。
設定時間を延ばしては、如何でしょうか?

|同じWi-Fi経由なのにspメールができて、ネットはできないって、どう違うのでしょうか・・・

この件は、もう少し調べてみないとなんとも言えません。申し訳ありません。
FOMA接続でSPメールを受信していることはありませんか?
ただし、この場合には、インターネットも利用可能になるかと思いますので、辻褄がありませんが...。

|docomoのスマートフォンを徹底的に安く利用する
|４．FOMA接続をなくすためには？
|設定」→「無線とネットワーク」→「モバイルネットワーク」→「データ通信を有効にする」のチェックをは ずします。これでFOMA接続によるインターネットへのアクセスは一切行われなくなります。

spモードメールについては、以下のような（※）注意事項があるようですが、ご確認されていますか?

|spモードメール
|point4 Wi-Fiを利用したメール送受信が可能に！※1※2※3※4
|※1 Wi-Fi環境でのspモードメール利用対応は、spモードメールアプリの「バージョン4000」以降となっています。また事前に「Wi-Fi経由のメール送受信」の設定が「on」になっていることをご確認いただき、「Wi-Fiオプションパスワード」の設定を行ってください。
|※2 Wi-Fi環境によっては、インターネットに接続するために認証が必要な場合があります。ご利用のWi-Fi接続環境の利用条件（会員登録有無、接続方法）をご確認ください。
|※3 Wi-Fi環境でご利用になる前に、spモードメールアプリを起動後「メール設定」→「その他」→「Wi-Fiメール接続確認」にて「spモードセンターへの接続が確認できました。」が表示されることをご確認ください。
|※4 Windows Mobile®ではWi-Fiでの利用はできません。